Modelos de colas basados en el proceso de nacimiento y muerte (finitas)

En términos técnicos, cuando se establece límite sobre cuántas unidades pueden buscar ser atendidas, se dice que el modelo tiene una población con fuente finita. Con base en este supuesto, la tasa de llegadas λ permanece constante independientemente de cuántas unidades estén en el sistema de línea de espera. Este supuesto de población con fuente infinita se hace en la mayoría de los modelos de línea de espera. En otros casos, el número máximo de unidades o clientes que buscan ser atendidos se supone que es finito. En esta situación la tasa de llegadas al sistema cambia, según el número de unidades que hay en la línea de espera, y se dice que el modelo tiene una población con fuente finita. Las fórmulas de las características de operación de los modelos de línea de espera previos deberán modificarse para tener en cuenta el efecto de poblaciones finitas.

El modelo de población con fuente finita analizada en esta sección se basa en los siguientes supuestos:

1. Las llegadas de cada unidad sigue una distribución de probabilidad de Poisson, con tasa de llegadas λ.

2. Los tiempos de servicio siguen una distribución de probabilidad exponencial, con tasa de servicios μ.

3. La población de unidades que buscan ser atendidas es finita.

Con un solo canal, el modelo de línea de espera se conoce como modelo M/M/1 con una población con fuente finita.

La tasa de llegadas del modelo M/M/1 con una población con fuente finita se define en función de qué tan frecuentemente llega una unidad o busca que la atiendan. Esta situación difiere de la de modelos de línea de espera previos, en los cuales λ denotaba la tasa de llegadas del sistema. Con una población con fuente finita, la tasa de llegadas del sistema varía, según el número de unidades en el sistema. En lugar de ajustar con base en la tasa de llegadas variable, en el modelo de población con fuente finita λ indica la tasa de llegadas de cada unidad.

Características de operación del modelo M/M/1 con un población con fuente infinita

Las siguientes fórmulas se utilizan para determinar las características de operación constante de un modelo M/M/1 con una población con fuente finita, donde:

λ = tasa de llegadas de cada unidad

μ = tasa de servicios

N = tamaño de la población

1. Probabilidad de que no haya unidades en el sistema:

2. Número promedio de unidades en la línea de espera:

3. Número promedio de  unidades en el sistema:

4. Tiempo promedio que una unidad pasa en la línea de espera:

5. Tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema:

6. Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar para que la atiendan:

7. Probabilidad de que haya n unidades en el sistema:

Ejemplo: Kolkmeyer Manufacturing Company utiliza un grupo de seis máquinas idénticas; cada una funciona un promedio de 20 horas entre descomposturas. Por tanto, la tasa de llegadas o solicitud de servicio de reparación de cada máquina es λ = 1/20 = 0.05 por hora. Con las descomposturas ocurriendo al azar, se utiliza la distribución de probabilidad de Poisson para describir el proceso de llegada de máquinas descompuestas. Una persona del departamento de mantenimiento proporciona el servicio de reparación de canal único para las seis máquinas. Los tiempos de servicio exponencialmente distribuidos tienen una media de dos horas por máquina, o una tasa de servicios de μ = 1/2 = 0.50 máquinas por hora.

Con λ = 0.05 y μ = 0.50, utilizamos las ecuaciones (1) hasta la (6) para calcular las características de operación de este sistema. Observe que el uso de la ecuación (1) complica los cálculos implicados. Confirme usted mismo que la ecuación (1) da el valor de P₀ = 0.4845 Los cálculos de las otras características de operación son

Por último, con la ecuación (7) se calculan las probabilidades de que haya cualquier número de máquinas en el sistema de reparación.

Referencia Bibliográfica:

Anderson, D. (2011). Metodos Cuantitativos Para Los Negocios. Cengage Learning Editores.