Modelos de colas basados en el proceso de nacimiento y muerte (infinitas)

Modelo de nacimiento puro

Defina

P₀(t) = Probabilidad de que no ocurran llegadas durante un periodo de tiempo t

Dado que el tiempo entre llegadas es exponencial y que la tasa de llegadas es de λ clientes por unidad de tiempo, entonces

Para un intervalo de tiempo suficientemente pequeño h > 0, tenemos

La distribución exponencial se basa en la suposición de que durante h > 0, cuando mucho puede ocurrir un evento (llegada). Por lo tanto, a medida que h→0

Este resultado muestra que la probabilidad de una llegada durante h es directamente proporcional a h, con la tasa de llegadas, λ, como constante de proporcionalidad. Para derivar la distribución de la cantidad de llegadas durante un periodo t cuando el tiempo entre llegadas es exponencial con media 1/λ 

Defina

P_n(t) = Probabilidad de n llegadas durante t

Para un h > 0 suficientemente pequeño,

En la primera ecuación habrá n llegadas durante t + h si hay n llegadas durante t y ninguna llegada durante h, o n - 1 llegadas durante t y una llegada durante h. No se permiten todas las demás combinaciones porque, de acuerdo con la distribución exponencial, a lo sumo puede haber una llegada durante un periodo h muy pequeño. La ley del producto de las probabilidades es aplicable al lado derecho de la ecuación porque las llegadas son independientes. En cuando a la segunda ecuación, durante t + h puede haber cero llegadas sólo si no hay llegadas durante t y h.

Reacomodando los términos y tomando los límites a medida que  h→0 para obtener la primera derivada de P_n(t) con respecto a t, tenemos

La solución de las ecuaciones diferenciales anteriores da

Ésta es una distribución de Poisson con media E{n|t} = λt de llegadas durante t. El resultado anterior muestra que si el tiempo entre llegadas es exponencial con media 1/λ, entonces la cantidad de llegadas durante un periodo específico t es Poisson con media λt. Lo contrario también funciona. La siguiente tabla resume las relaciones entre las distribuciones exponencial y de Poisson, dada la tasa de llegadas λ:

En una ciudad grande nacen bebés a razón de uno cada 12 minutos. El tiempo entre nacimientos sigue una distribución exponencial. Determine lo siguiente:

(a) La cantidad promedio de nacimientos por año.

(b) La probabilidad de que no ocurran nacimientos durante 1 día.

(c) La probabilidad de emitir 50 actas de nacimiento en 3 horas dado que se emitieron 40 actas durante las primeras 2 horas del periodo de 3 horas.

La tasa de natalidad por día se calcula como

Por lo tanto, la cantidad de nacimientos por año en el estado es

La probabilidad de que no haya nacimientos durante 1 día es

Otra forma de calcular la misma probabilidad es observar que si no hay ningún nacimiento en cualquier día equivale a decir que el tiempo entre nacimientos sucesivos es de más de un día. Por lo tanto podemos utilizar la distribución exponencial para calcular la probabilidad deseada como

Debido a que la distribución de la cantidad de nacimientos es Poisson, la probabilidad de emitir 50 actas de nacimiento en 3 horas, dado que se emitieron 40 actas durante las primeras 2 horas, equivale a tener 10(=50 - 40) nacimientos en una hora (=3 - 2), es decir,

Modelo de muerte pura

En el modelo de muerte pura, el sistema se inicia con N clientes en el instante 0, sin llegadas nuevas permitidas. Las salidas ocurren a razón de m clientes por unidad de tiempo. Para desarrollar las ecuaciones diferenciales de la probabilidad P_n(t) de que n clientes permanezcan después de t unidades de tiempo, seguimos los argumentos utilizados con el modelo de nacimiento puro. Por lo tanto,

A medida que h→0, obtenemos

La solución de estas ecuaciones da la siguiente distribución de Poisson truncada:

Ejemplo: Una florería inicia cada semana con 18 docenas de rosas. En promedio, la florería vende 3 docenas al día (una docena a la vez), pero la demanda real sigue una distribución de Poisson. Siempre que el nivel de las existencias se reduce a 5 docenas, se coloca un nuevo pedido de 18 nuevas docenas para entrega al principio de la siguiente semana. Debido a la naturaleza de la mercancía, las rosas sobrantes al final de la semana se desechan. Determine lo siguiente:

(a) La probabilidad de colocar un pedido cualquier día de la semana.

(b) El promedio de rosas desechadas al final de la semana.

Debido a que las compras ocurren a razón de μ = 3 docenas por día, la probabilidad de colocar un pedido al final del día t es

Los datos de entrada asociados en el caso del modelo de muerte pura correspondientes a t = 1,2,…, y 7 son λ = 0, μ = 3t, c = 1, Límite del sistema = 18, y Límite de la fuente = 18. Observe que t debe ser sustituido numéricamente

Los resultados se resumen como sigue:

El promedio de rosas desechadas al final de la semana (t = 7) es E{n|t = 7}. Para calcular este valor necesitamos P_n(7), n 5 0, 1,2,…, 18, el cual puede determinarse con el software proporcionado. El resultado es

Referencias Bibliográficas

Taha, H. A. (2012). Investigación de operaciones.